逻辑回归与损失函数

介绍

逻辑回归是一个用于二分类(binary classification)的算法。

这里有一个二分类问题的例子，假如你有一张图片作为输入，比如猫，如果识别这张图片为猫，则输出标签1作为结果；如果识别出不是猫，那么输出标签0作为结果。

符号定义 ：

• $x$ ：表示一个 $n_x$ 维数据，为输入数据，维度为 $( n_x , 1 )$ 的列向量

• $y$ ：表示输出结果，取值为 $( 0 , 1 )$

• $\hat{y}$ ：算法预测值，有时会用 $a$ 表示

• $m$ ：表示样本数目

• $(x^{(i)},y^{(i)})$ ：表示第 $i$ 组数据，可能是训练数据，也可能是测试数据，此处默认为训练数据

• $X=[x^{(1)},x^{(2)},\dots,x^{(m)}]$：表示所有的训练数据集的输入值，放在一个 $n_x * m$ 的矩阵中

• $Y=[y^{(1)},y^{(2)},\dots,y^{(m)}]$：对应表示所有训练数据集的输出值，维度为 $1*m$

目标

基本想法是让 $\hat{y}=w^Tx+b$ （参数 $w$ 为列向量），但是这对于二元分类问题来讲不是一个非常好的算法，对于概率来说 $\hat{y}$应该在0到1之间，但是 $w^Tx+b$ 可能比1要大得多，或者甚至为一个负值。因此在逻辑回归中，$\hat{y}$ 应该是等于由上面得到的线性函数式子作为自变量的sigmoid函数中，公式如下面所示，将线性函数转换为非线性函数。

$$\sigma(z)=\frac 1{1+e^{-z}}$$

$$z=w^Tx+b$$

$$\hat{y}=\sigma(z)=\sigma(w^Tx+b)$$

此时，参数 $w$ 和参数 $b$ 是未知的，需要找到一种方法来找到参数 $w$ 和参数 $b$

损失函数

损失函数又叫做误差函数，用来衡量预测输出值和实际值有多接近。平方差就是一个不错的损失函数，但是在逻辑回归模型中会定义另外一个损失函数：

$$L(\hat{y},y)=-y\log(\hat{y})-(1-y)\log(1-\hat{y})$$

可以从极大似然估计理解，不过公式是拼凑出来的，不是自然的过程。自然的推导过程可以看一看最后补充的从交叉熵理解损失函数。

• 已知分布，求一件事发生的可能性，叫求概率

• 已知一系列结果，求一个分布让这些结果发生的可能性，叫求似然

假设一个袋子符合两种分布中的一种：十个苹果和一个梨；或者十个梨和一个苹果。已知三次取出又放回的实验结果都是苹果，那么十个苹果和一个梨的分布更合理。

代价函数

为了训练逻辑回归模型的参数 $w$ 和参数 $b$，我们需要一个代价函数，通过训练代价函数来得到参数 $w$ 和参数 $b$。损失函数只适用于单个训练样本，而代价函数是参数的总代价。

$$J(w,b)=\frac1m\sum_{i=1}^mL(\hat{y}^{(i)},y^{(i)})$$

所以在训练逻辑回归模型时候，目标是需要找到合适的参数 $w$ 和参数 $b$ ，来让代价函数 $J(w,b)$ 的总代价降到最低。

梯度下降法

之前使用特殊的损失函数$L(\hat{y},y)$，是为了让代价函数 $J(w,b)$ 成为凸函数。整个梯度下降法的迭代过程就是不断地得到参数 $w$ 和参数 $b$ ，不断地向最小值点方向走。

凸函数的形状？一个碗。

梯度下降法就像在碗的边缘，找到一个最大下降的方向降到碗底。

随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent，简称SGD）是基于梯度的一种优化算法，用于寻找损失函数最小化的参数配置。SGD通过计算每个样本的梯度来更新参数，并在每次更新中随机选择一个或一批样本。通过随机选择样本来计算梯度，这使得它具有一定的随机性，有助于避免陷入局部极小值。

具体对参数 $w$ 和参数 $b$ 更新的公式如下，其中 $:=$ 代表更新，$\alpha$ 代表学习率，$\partial$ 代表求偏导。

$$w := w- \alpha \frac{\partial J(w,b)}{\partial w}$$

$$b := b - \alpha \frac{\partial J(w,b)}{\partial b}$$

从交叉熵理解损失函数

信息论基础

交叉熵是信息论中的概念，想要理解交叉熵，首先需要了解一些与之相关的信息论基础。

信息量

信息量的基本想法是：一个不太可能发生的事件居然发生了，我们收到的信息要多于一个非常可能发生的事件发生。

用一个例子来理解一下，假设我们收到了以下两条消息：

A：今天早上太阳升起 B：今天早上有日食

我们认为消息A的信息量是如此之少，甚至于没有必要发送，而消息B的信息量就很丰富。利用这个例子，我们来细化一下信息量的基本想法：

1. 非常可能发生的事件信息量要比较少，在极端情况下，确保能够发生的事件应该没有信息量；

2. 不太可能发生的事件要具有更高的信息量。事件包含的信息量应与其发生的概率负相关。

假设$X$是一个离散型随机变量，它的取值集合为$\left \{ x_{1}, x_{2},\cdots , x_{n} \right \}$，定义事件$X=x_i$的信息量为：

$$I(x_{i})=-\log P(X=x_{i})$$

• 其中，log表示自然对数，如果底数为2，计算出来的单位就是比特。

• $P$为变量$X$取值为$x_i$的概率，这个概率值应该落在0到1之间。

画出上面函数在P为0-1时的取值，图像如下。在概率值P趋向于0时，信息量趋向于正无穷，在概率值趋向P于1时，信息量趋向于0，这个函数能够满足信息量的基本想法，可以用来描述信息量。

熵

上面给出的信息量公式只能处理随机变量的取指定值时的信息量，我们可以用香农熵（简称熵）来对整个概率分布的平均信息量进行描述。具体方法为求上述信息量函数关于概率分布P的期望，这个期望值（即熵)为：

$$H(X)=-\sum_{i=1}^{n}P(X=x_{i})\log P(X=x_{i})$$

让我们计算几个例题来对熵有个更深的了解。

例题①：求随机变量X的熵，这个随机变量有8种可能的取值$\left \{ x_{1}, x_{2},...,x_{8} \right \}$，且每种取值发生的概率都是相等的，即：$P(X=x_{1})=P(X=x_{2})=...=P(X=x_{8})=\frac{1}{8}$

解：

$$H(X)=-8\times \frac{1}{8}\log \frac{1}{8}=3$$

例题②：还是例题①中的随机变量X，还是8种可能的取值，但是每种取值发生的概率并不是都相等，而是分别为：$\{ \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \frac{1}{64}, \frac{1}{64},\frac{1}{64},\frac{1}{64} \}$

解：

$$H(X)=-\frac{1}{2}\log \frac{1}{2}-\frac{1}{4}\log \frac{1}{4}-\frac{1}{8}\log \frac{1}{8}-\frac{1}{16}\log \frac{1}{16}-\frac{1}{64}\log \frac{1}{64}-\frac{1}{64}\log \frac{1}{64}-\frac{1}{64}\log \frac{1}{64}-\frac{1}{64}\log \frac{1}{64}=2$$

由例题①和例题②可以佐证《深度学习花书》中的一句结论：那些接近确定性的分布（输出几乎可以确定）具有较低的熵，那些接近均匀分布的概率分布具有较高的熵（因为输出不确定）。

熵可以简单理解为系统的混乱程度，越混乱（每个事件都等可能），熵越大

KL散度（相对熵）

假设随机变量$X$的真实概率分布为$P(X)$，而我们在处理实际问题时使用了一个近似的分布$Q(X)$来进行建模。

如何考虑P与Q分布的差异？可以使用相对熵，或者叫KL散度（Kullback-Leibler Divergence)来计算。注意下面的公式中P在前，代表以P为基准，考虑P与Q分布的差异：

$$\begin{aligned} D_{KL}\left ( P\left | \right | Q\right ) &= \sum p_i \cdot (I_Q(x_i)-I_P(x_i))\\ &= \sum p_i \cdot((-\log q_i)-(-\log p_i)) \\ &= \sum p_i \cdot \log \frac{p_i}{q_i} \end{aligned}$$

• 其中，令$I_Q(x_i)$定义事件$X=x_i$在Q系统中的信息量

• 令$I_P(x_i)$定义事件$X=x_i$在P系统中的信息量

• $p_i$代表事件$X=x_i$在P系统中发生的概率

• $q_i$代表事件$X=x_i$在Q系统中发生的概率

介绍KL散度的两个性质：

• KL散度不是一个对称量，$D_{KL}(P\left | \right |Q)\neq D_{KL}(Q\left | \right |P)$

• KL散度的值始终$\geqslant 0$ （吉布斯不等式证明），当且仅当$P(X)=Q(X)$时等号成立，我们希望它接近于0，KL散度本身就可以作为损失函数

交叉熵

如果继续探究KL散度的式子代表什么：

$$\begin{aligned} D_{KL}\left ( P\left | \right | Q\right ) &= \sum p_i \cdot \log \frac{p_i}{q_i} \\ &= \sum p_i(-\log q_i) -\sum p_i(-\log p_i) \\ &= H(P,Q)-H(P) \end{aligned}$$

KL散度公式的左半部分就是交叉熵，右半是分布P的熵。

细心的小伙伴可能发现了，如果把P看作随机变量的真实分布的话，KL散度中P的熵其实是一个固定值，KL散度的大小变化其实是由交叉熵来决定的。

我们可以把近似分布$Q$看作网络或模型的实时输出，把KL散度或者交叉熵看做真实标签与网络预测结果的差异，所以神经网络的目的就是通过训练使近似分布$Q$逼近真实分布$P$。

从理论上讲，优化KL散度与优化交叉熵的效果应该是一样的。在深度学习中选择优化交叉熵而非KL散度的原因可能是为了减少一些计算量，交叉熵毕竟比KL散度少一项。

交叉熵损失函数

二分类任务，对于判断一张图片是不是猫，在人的眼中有1和0两种可能，记为y，令真实的概率分布为P，模型学习到的概率分布为Q，由于模型输出的意思为是猫的概率为多少，而我们计算时需要两个东西：是猫的置信度和不是猫的置信度，因此需要两项，$p_i$ 和 $1-p_i$

$$H(P,Q)=-\sum(y_i \cdot \log p_i + (1-y_i) \cdot \log (1-p_i))$$

这个式子我们很熟悉，交叉熵和极大似然估计法得出来的式子是一样的。可以作为损失函数。

但是，如果想要识别猫，狗和小鸡，把猫叫做类1，狗为类2，小鸡是类3，如果不属于以上任何一类，分到类0。怎么办？多分类的情况实际上就是对二分类的扩展，主要记住这个公式：

$$L=-\sum_i^N \sum_{j}^M y_{ij} \log (f(x_{ij}))$$

• 其中，N对应于样本数量，M为类别的数量

• y 取0 或 1 ，如果样本 i 的真实类别等于 j， 取 1 ，否则取 0。对于单分类任务，只有一个分类的标签非零

• $f(x_{ij})$ 表示的是样本i预测为j分类的概率

loss的大小完全取决于分类为正确标签那一类的概率，当所有的样本都分类正确时，loss=0，否则大于0。

Softmax

softmax可以看作将MLP输出的数值（在代码中常被称为logits），转换为归一化的分类概率，更加直观，并且从概率上可以解释。

$$q_i = \frac{\exp(z_i)}{\sum_{j = 1}^{K} \exp(z_j)}$$

注意从技术上说“softmax损失（softmax loss）”是没有意义的，因为softmax只是一个压缩数值的函数。但是在这个说法常常被用来做简称。

“softmax”这个名字是怎么回事？此操作的“硬”版本称为 argmax，只需找到 最大值，将其设置为 1.0，并将 0.0 分配给所有其他值。相比之下，softmax 操作是它的“软”版本。由于 softmax 中涉及的幂，因此 强调最大值并将其推向 1.0，同时仍保持概率分布 在所有输入值上。这允许更细致入微的表示，不仅捕获最 可能的选择，以及其他选择的相对可能性。

在得到概率后，然后计算交叉熵损失函数：

$$\begin{align*} \text{Loss}&=-\sum_{i = 1}^{K} p_i \log q_i\\ p_i&=\begin{cases} 1, & \text{if } (i = y)\\ 0, & \text{if } (i \neq y) \end{cases} \end{align*}$$

训练神经网络时，最小化预测概率和标签真实概率之间的交叉熵，从而得到最优的预测概率分布。最优的预测概率分布是：

$$Z_i=\begin{cases} +\infty, & \text{if }(i = y)\\ 0, & \text{if }(i\neq y) \end{cases}$$